足球射门数学模型.pptxVIP

　　数学建模Mathematical Modelling第五讲 足球射门的数学模型一、问题的提出 足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中，球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题： 1.足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门命中率相同？ 2.针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究，并绘制出球门的危险区域； 3.在有一名守门员的情况下，对于球员射门威胁程度和威胁区域作进一步研究.二、问题分析 根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性小一些大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场上的最大射门角度之比称为命中率。 某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。 球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的平面内大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门的危险区域。 三、模型假设 为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、适当的假设： 1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将足球看成一个质点。 2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。 3．射门时无对手进行有效的防守。 4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。 四、模型建立与求解 根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。 球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这三条线与球门线范围内的地区叫球门区。　罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线,一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。如示图1图1 1. 问题1的讨论 由平面几何知识知:沿边线 总可以找到一点使得∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球场内，哪些点属于足球射门的最佳点呢？为研究方便，我们把足球场地划分为三条带型区域：并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得图2 1)在区域 内射门最佳点的轨迹方程在区域 内任取一点 (1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连接PA，PB。 1)在区域 内射门最佳点的轨迹方程在区域 内任取一点 (1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连接PA，PB。即 由于y不变， x与 积为常数。也就是当且仅当 ，即 时取等号。所以又因为 ，所以当 时，取最大值, P 是最佳射门点，此时 （1） 于是，对于区域 内每一个确定y ，都存在相应的 ，使得点P(x,y)是最佳射门点，故方程（1）是区域 内射门最佳轨迹方程，整理为 即为等轴双曲线的一部分。 ( 2）若x保持不变，显然，P