足球射门数学模型.pptxVIP

由:admin 发布于:2024-02-14 分类:西甲联赛 阅读:464 评论:0

  数学建模Mathematical Modelling第五讲 足球射门的数学模型一、问题的提出 足球运动已成为一种世界性的运动,也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中,运动员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门;近距离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中,球员之间的基本素质可能有所差异,但对于职业球员来讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和足球比赛的实际情况建模分析,并回答以下几个问题: 1.足球场上哪些位置射门命中率高?哪些位置射门命中率相同? 2.针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究,并绘制出球门的危险区域; 3.在有一名守门员的情况下,对于球员射门威胁程度和威胁区域作进一步研究.二、问题分析 根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门,都有进与不进两种可能,这本身就是一个随机事件,无非是那些地方进球的可能性大一些,哪些地方进球的可能性小一些大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样球员无论从哪个地方射门,都有一个确定的射门角度,不同的射门地点,其射门角度不尽相同,射门的角度与球场上的最大射门角度之比称为命中率。 某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时,该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率,即命中球门的概率。事实上,当上述两个因素确定时,球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分布。我们稍作分析,容易判定,该分布应当是一个二维正态分布,这是我们解决问题的关键所在。 球员从球场上某点射门时,首先必须在球门所在平面上确定一个目标,射门后球以该概率分布落在球门所在的平面内大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。将球门视为所在平面的一个区域,在区域内对该分布进行积分,即可得到这次射门命中的概率。然而,球员在球场上选择射门的目标点是任意的,而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样,我们遍历球门区域内的所有点,对命中概率做积分,将其定义为球场上某点对球门的威胁程度,根据威胁程度的大小来确定球门的危险区域。 三、模型假设 为解决上述问题,我们对足球运动进行必要、合理、适当的假设: 1.足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计,即将足球看成一个质点。 2.不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响,根据统计资料,射门时球的速度为v0=10米/秒。 3.射门时无对手进行有效的防守。 4.不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等因素。 5.足球场地是国际上的标准场地。 四、模型建立与求解 根据我们调查,国际标准足球场地的规格为:长104米、宽69米,足球门宽7.32米,中圈半径9.15米 。 球门区:在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球门线上,向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线,一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这三条线与球门线范围内的地区叫球门区。 罚球区: 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的球门线上,向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线,一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这三条线与球门线范围内的地区叫罚球区,在两球门线中点垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记,叫罚球点。以罚球点为圆心,以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。如示图1图1 1. 问题1的讨论 由平面几何知识知:沿边线 总可以找到一点使得∠APB 最大。 大家知道, 球员水平一定的情况下,角∠APB越大,在P点射门的命中率就越大,因此我们称使得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球场内,哪些点属于足球射门的最佳点呢?为研究方便,我们把足球场地划分为三条带型区域:并以AB所在的直线为oy轴,以垂直于AB平分线为ox轴,建立平面直角坐标系如图 2,因此可求得图2 1)在区域 内射门最佳点的轨迹方程在区域 内任取一点 (1) 若y保持不变,则动点P只能在线段 EE’上移动。连接PA,PB。 1)在区域 内射门最佳点的轨迹方程在区域 内任取一点 (1) 若y保持不变,则动点P只能在线段 EE’上移动。连接PA,PB。即 由于y不变, x与 积为常数。也就是当且仅当 ,即 时取等号。所以又因为 ,所以当 时,取最大值, P 是最佳射门点,此时 (1) 于是,对于区域 内每一个确定y ,都存在相应的 ,使得点P(x,y)是最佳射门点,故方程(1)是区域 内射门最佳轨迹方程,整理为 即为等轴双曲线的一部分。 ( 2)若x保持不变,显然,P

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